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*赵帆 17XXXXXX11*

*摘要：电力系统在正常运行时难免的会遇到外界因素的干扰，这些外因干扰产生后不发生自激振荡或单调性失步，能够恢复到原始的运行状态。本文就电力系统的静态稳定性，针对小干扰分析法进行了理论与简单应用的阐述，且对特征值分析法做了详细的推演论证，并给出了简单系统的小干扰法算例，论证了系统受小干扰后依旧稳定的条件。*

*关键词：小干扰稳定性分析法；电力系统；静态稳定*

*1、引言*

电力系统在不同地区不断叠加进行的多重互联，一方面提高了输电的经济性与可靠性，另一方面也将电力系统的不稳定性提高了。电力系统的稳定供电是满足人们日常生活需要的必要条件，但其稳定运行需要满足一些必要条件，若不稳定则会带来巨大的经济财产损失，甚至产生人身安全问题。电力系统在某一运行方式下，受到某种因素的干扰后，能迅速恢复到受干扰前的运行状态，或者恢复到另一种稳定的运行方式的能力称之为电力系统的小干扰稳定性。由于电力系统在正常运行时，其实一直都在收到不同程度的小干扰现象，因此为了提高系统的稳定性，维持电力系统的小干扰稳定性是十分必要的。

*2、电力系统的小干扰*

\2******.1****小干扰的产生与原因****

当电力系统收到干扰源产生的微小干扰后，各发电器的状态为在同步时功角逐渐拉开最终致使失步现象的产生，导致这种结果产生的原因是电力系统中同步转矩不够大，这种失步被称为非周期失步。电力系统收到干扰源产生的微小干扰后，系统中各机组之间功角的振幅偏离同步后不断增加拉大导致振荡的产生，振荡产生后继续拉大直到失步，导致这种结果产生的原因是电力系统中的阻尼不够大，这种失步被称为振荡失步。

\2******.2****小干扰的稳定性分析方案****

研究电力系统受到小干扰影响后的暂态过程及其稳定过程是由著名的19世纪俄国学者李雅普诺夫提出的。李雅普诺夫认为任何一个动力学范围内的系统都可以用多元函数来表示，这里我们令其为，当系统受到小干扰的影响使其与原函数的参数值不同，我们记其为函数，当所有参数的增量 趋近于零时，即、 时，函数，即可认为系统是趋于稳定的。

目前适用于分析电力系统稳定性的判断方法有三种，分别为频域法、电气转矩法和特征值分析法。频域法的理论依据为传递函数和多变量的奈奎斯特稳定性准则，它主要用于设计各种控制器和选取安装地点，存在的不足是计算量非常大，会使运算速度大幅降低，提供的关键模式信息也很有限。电磁转矩法的物理意义相对明确，但计算也相对复杂。目前最常用的判断系统稳定性的有效方法为特征值分析法，它不仅吸纳了频域法的优点，还能够揭示小干扰稳定性问题的实质，寻求解决他的对策。以时域法和特征值法做一个对比分析表：

方法	时域分析法	小干扰分析法
手段	施加扰动并进行积分计算	特征求解即可
优点	详细计算系统所有元件的非线性，较为可靠	①只需一次特征求解；②分别研究各个振荡模式；③可对稳定现象进行解释；④为控制器的布点和设计提供重要性息
缺点	①绘制系统的全部动态不现实；②时域仿真结果多模耦合；③不能解释现象；④对控制器的布点和设计没有帮助	非线性特征被忽略，模型的线性化和特征求解困难

表1时域法与特征值法优缺点对比

以上均可知特征值分析法具有论证的优越性与方便性，下面我们就特征值分析法进行一个详细的演算论证过程分析。

*3、基于特征值分析法的电力系统小干扰稳定性分析*

小信号的静态稳定性分析可以用特征根判断法来进行，其稳定性判断方法一般由以下步骤完成：①将电力系统受到小干扰后的状态方程根据情况适当列出；②将列出的非线性微分方程化为线性化的方程；③求解特征方程的根，并根据参数的微小增量的变化规律来判断系统的稳定性质。

*3.1系统状态变量偏移量的线性状态方程*

由于变压器中，其线路中的电抗能够被视为发电机漏抗里的一部分，且其系统的容量为无限大时系统的频率不会改变，则其状态方程可以省略不写。则电力系统的简单微量系统中需要列出状态方程的有一个发电机元件，其转子的状态方程为式（1）。

​

因为在时间常数方面原动机的较为大一些，所以原动机的动态特性可以忽略不计，则默认为原动机的输出功率为一个常数 。而对于发电机为隐极机时，发电机的空载电动势为一个定值，即视为常数，这是因为励磁调节系统能够可以调节电动势参数。令以为发电机的电动势的功率表达式为式（2)。

​

则将功率表达式（2）代入转子状态方程式（1）即可得到转子状态方程式（3）。

​

因从转子状态方程式（3）中得知该式中含有非线性函数，则该简单电力系统为非线性系统。 对简单系统进行状态变量的简化，其状态变量可表示为式（4)。

​

将状态变量式（4）代入状态方程式（3）得到式（5）：

​

把上式用泰勒级数将在的附近展开，忽略掉偏移量比二次高（含二次）的项，可以得到与的线性关系为：

​

将式（6）代入式（5）可得系统状态偏移量微分方程组式（7）：

​

\3.2******在平衡点线性化状态方程****

将状态偏移量微分方程组式（7）化为矩阵形式，可以得到线性化系统矩阵（8）：

​

其中

​

且矩阵（8）它的一般形式可以化为式（10）：

​

式（10）中，为一个向量，其由状态偏移量的导数构成。 也为一个向量，由状态变量的偏移量构成。A则为系统状态方程组的系数矩阵。则可以得到上述系统的简单框图：

\3.3******用特征根来判断系统的稳定性****

对线性化系统矩阵（8）求特征根，列出特征方程（11）：

​

根据二阶系统的规律，可以由特征方程列出特征值为：

​

则可以得出特征根为式（13）所得：

​

通过式（13）很容易得到当 小于零的时候，产生了符号相异的两个实根 ，与 的单调性为随着t增大而增大，使针对发电机来讲，其无限大系统的非周期性失去了同步功能，即系统是不稳定的。当大于零时，产生了一对虚根，与会不停的作幅度相等的振荡，其振荡频率的表达式如式（14)：

​

若无其他特殊情况，的范围限制在0.5~1之间，则限制在五到十秒之间，此时震荡频率f应为1Hz上下，其震荡频率很小，故为低频震荡。如若系统中还有阻尼因素的存在，则还会有衰减震荡的影响（小干扰衰减后的振荡因素)，最后恢复同步，则此时系统是稳定的。

\3.4******阻尼环节对稳定性判定的影响****

将图1的简单系统增加一个阻尼环节，得到对应的框图2 。

同理，由式（12）可迅速推导出其特征方程为式（15）：

​

求得其特征根为：

​

通过式（16）进行分析，当小于零时，无论D值为何，总会有一个正实数根，系统会失去稳定。当大于零时，若D大于零，则会得到一对负根（实数根与虚数根都可能存在，但不会同时存在），系统是稳定的；若D小于零，则会得到一对共轭复数，其实部为正，与会产生幅度增加的振荡，此时系统不稳定。

*4、算例分析*

如图3所示为一个简单电力系统，其各元件参数的标幺值已知，发电机G: ，， ， 。变压器电抗： ， 。线路L：双回路导线。系统运行初始状态为， 。发电机不设励磁调节器，阻尼系数为，对其做一个稳定性的简单分析。

图3简单电力系统图

分析如下：

\4.1******不考虑系统阻尼系数求其初态振荡频率****

当不考虑系统的阻尼系数时，系统初态的各参量为：，， .

由式（9）可得

​

由式（14）可知这个系统的初态振荡频率为：

​

​

\4.2******考虑系统阻尼系数时判断其系统稳定性****

判断稳定性可以通过分析根轨迹来进行，由式（16）可得

​

用matlab运行以下代码进行根轨迹图的绘制：

x=0:0.005:pi

y1=-0.45pi+((0.45pi)^2-4.5576picos(x)).^0.5

y2=-0.45pi-((0.45pi)^2-4.5576picos(x)).^0.5

plot(y1,'r')

hold on

plot(y2,'b')

特征值随变化的根轨迹图如下：

由图4分析，当时，系统在小干扰后不再产生振荡。当时，系统会有两个负根，此时系统会维持稳定性。当时，系统的特征值为两个符号不同的实数，发生了鞍结分岔，从而系统将会单调的失去稳定性。则其结论与式（16)得出的结论相符合。

*5、结语*

电力系统的各个设备都是多重互联叠加的，其发电设备、用电设备与供电设备等都是一个密不可分的整体，单个设备的运行状况都会影响到其他设备，且更有甚者可以影响到电力系统的正常运转。为此，系统应该具有自我调节的功能，使其能够稳定运行。本文简单叙述了电力系统在正常运转时受到小干扰信号后能否继续维持稳定的依据，即是否会产生失步现象，并给出了判断系统稳定的条件，即：在不考虑阻尼因素D影响时，系统稳定运行的条件是；考虑阻尼因素D的影响时系统稳定运行条件是。

*6、参考文献*

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